题目

题型：不详难度：来源：

已知F₁、F₂分别为双曲线

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得

|PF2|2

|PF1|

=8a，则双曲线的离心率的取值范围是______．

答案

∵P为双曲线左支上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=-2a，
∴|PF₂|=|PF₁|+2a，①
又

|PF2|2

|PF1|

=8a，②
∴由①②可得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a．
∴|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，即2a+4a≥2c，
∴

c

a

≤3，③
又|PF₁|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2a+2c＞4a，
∴

c

a

＞1．④
由③④可得1＜

c

a

≤3．
故答案为：（1，3]．