设F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使PF1•PF2=0，且△F1PF2的三边长构成等差数列， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设F₁，F₂是双曲线

=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，且△F₁PF₂的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．2

D．5

答案

由P为双曲线的右支上一点可知，PF₁＞PF₂
∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁⊥PF₂
∴F₁F₂＞PF₁＞PF₂
由△F₁PF₂的三边长构成等差数列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂=2c+PF₂①
又由双曲线的定义可知，PF₁-PF₂=2a即PF₁=PF₂+2a②
①②联立可得，PF₂=2a-4a，PF₁=2c-2a
∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF12+PF22=F1F22即（2c-4a）²+（2c-2a）²=4c²
整理可得，c²-6ac+5a²=0
∵c＞a
∴c=5a
∴e=5
故选D

核心考点

试题【设F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使PF1•PF2=0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，】；主要考察你对双曲线的几何性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

以抛物线y²=12x的焦点为圆心，且与双曲线

=1的两条渐近线相切的圆的方程为______．

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过点（1，0）作倾斜角为

2π

的直线与y²=4x交于A、B，则AB的弦长为______．

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离心率为

的椭圆C₁与双曲线C₂有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线C₂的离心率等于（　　）

A．

B．

C．

D．

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过双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x²+y²=a²的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为 ______．

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已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=

x和l2：y=-

x，其焦点在x轴上，实轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线相切于点M且与右准线交于N，F为右焦点，求证：∠MFN为直角．

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