题目
题型:不详难度:来源:
(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程;
(2)过点B(1,1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q1、Q2,且B是线段Q1Q2的中点?请说明理由.
答案
解析
2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2).
当x1≠x2,y≠0时,
由x1+x2=2x,y1+y2=2y,
得=. ①
又由P1、P2、P、A四点共线,
得=. ②
由①②得=,
即2x2-y2-4x+y=0.
当x1=x2时,x=2,y=0满足此方程,故中点P的轨迹方程是2x2-y2-4x+y=0.
解法二:设点P1、P2、中点P的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),
直线l的方程为y=k(x-2)+1,将l方程代入双曲线x2-=1中,
得(2-k2)x2+2k(2k-1)x+2k2-3=0,
则x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)+2-4k=.
于是
当y≠0时,由①②得k=.将其代入①,整理得2x2-y2-4x+y=0.当l倾斜角为90°时,P点坐标为(2,0)仍满足此方程,故中点P的轨迹方程为2x2-y2-4x+y=0.
(2)假设满足题设条件的直线l′存在,Q1、Q2的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得2(x3+x4)(x3-x4)=(y3+y4)(y3-y4).
∵x3+x4=2,y3+y4=2,
∴=2(x3≠x4),
即l′的斜率为2.
∴l′的直线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
∵方程组无解,与假设矛盾,
∴满足条件的直线l′不存在.
核心考点
试题【已知双曲线x2-=1,过点A(2,1)的直线l与已知双曲线交于P1、P2两点.(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程;(2)过点B(1,1)能否作直线l′,使l】;主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.8 | B.4 |
C.4 | D.2 |
小题1:求该双曲线的方程;
小题2:如题(20)图,点的坐标为,是圆上的点,点在双曲线右支上,求的最小值,并求此时点的坐标;
A. | B.-4 | C.4 | D. |
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