题目

题型：不详难度：来源：

如下图，双曲线－=1(b∈N^*)的两个焦点为F₁、F₂，P为双曲线上一点，|OP|<5,|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差数列，求此双曲线方程.

答案

所求双曲线方程为－y²=1.

解析

∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等差数列，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4c.
又|PF₁|－|PF₂|=2a=4,
∴|PF₁|=2c+2,|PF₂|=2c－2.
根据中线定理有|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)<2(5²+c²),
∴(2c+2)²+(2c－2)²<2(5²+c²).
∴8c²+8<50+2c².
∴c²<7,
即4+b²<7.∴b²<3.又b∈N^*,∴b=1.
∴所求双曲线方程为－y²=1.