已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（-1，0）。（1）求双曲线方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线C：

的离心率为

，左顶点为（-1，0）。
（1）求双曲线方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆

上，求m的值和线段AB的长。

答案

（1）

（2）

解析

试题分析：（1）因为双曲线的离心率为

，所以

，又左顶点为

，所以

，因此可解得

，

，从而求得双曲线的标准方程：

（2）设

，

中点

的坐标为

，则

联立方程组：

消去

得关于

的一元二次方程，在判别式大于零的条件下，由韦达定理可用含参数

的表达式表示

和

，进而表示

和

，由于点

到原点的距离为

，可据此列方程解得

的值；最后根据弦长公式求弦

的长.
试题解析：
（1）依题意

所以

..2分
所以双曲线方程为

..4分
（2）由

得

， .6分
∴

，
又∵中点在直线

上，所以可得中点坐标为（m,2m）,
代入

得

.8分
|AB|=

。 12分

核心考点

试题【已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（-1，0）。（1）求双曲线方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值】；主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF₁F₂内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F₂作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是(　　)

A．\|OA\|＞\|OB\|	B．\|OA\|＜\|OB\|
C．\|OA\|＝\|OB\|	D．\|OA\|与\|OB\|大小关系不确定

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已知F₁，F₂是双曲线

－y²＝1的两个焦点，点P在此双曲线上，

＝0，如果点P到x轴的距离等于

，那么该双曲线的离心率等于________．

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已知双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的离心率为

，则双曲线的渐近线方程为( )

A．y＝±

B．y＝±

C．y＝±2x

D．y＝±

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已知双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y²＝4

x的焦点重合，且双曲线的离心率等于

，则该双曲线的方程为(　　)

A．x²－

＝1

B．x²－y²＝15

C．

－y²＝1

D．

－

＝1

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已知抛物线y²＝2px(p＞0)与双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于一点M(1，m)，点M到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于(　　)

A．3

B．4

C．

D．

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热门考点

A．\|OA\|＞\|OB\|	B．\|OA\|＜\|OB\|
C．\|OA\|＝\|OB\|	D．\|OA\|与\|OB\|大小关系不确定