题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F₂的直线l交双曲线于A、B两点，F₁为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F₁AB的面积等于6，求直线l的方程．

答案

（1）x²－＝1（2）y＝±(x－2)

解析

学生错解：解：(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，
由消元得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，y₁－y₂＝k(x₁－x₂)，
△F₁AB的面积S＝c|y₁－y₂|＝2|k|·|x₁－x₂|＝2|k|＝2|k|·＝6，k⁴＋8k²－9＝0，k²＝1，k＝±1，所以直线l的方程为y＝±(x－2)．
审题引导：(1)直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2)△F₁AB面积的表示．
规范解答：解：(1)依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，(4分)
∴双曲线的方程为x²－＝1.(6分)
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，F₂(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，
由消元得(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0，(8分)
k≠±时，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，y₁－y₂＝k(x₁－x₂)，(10分)
△F₁AB的面积S＝c|y₁－y₂|＝2|k|·|x₁－x₂|＝2|k|·＝2|k|·＝6，k⁴＋8k²－9＝0，k²＝1，k＝±1，(14分)
所以直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)
错因分析：解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±这一条件