题目

题型：同步题难度：来源：

已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点。
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，且>2（其中O为原点），求k的取值范围。

答案

解：（1）设双曲线C₂的方程为
则a²=4-1=3，c²=4，
再由a²+b²=c²，得b²=1，
故C₂的方程为。
（2）将代入
得（1-3k²）x²-6kx-9=0
由直线l与双曲线C₂交于不同的两点，得

∴且k²＜1 ①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+）（kx₂+）
=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+2=
又∵
得x₁x₂+y₁y₂>2
∴，即
解得 ②
由①②得
故k的取值范围为。