题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知双曲线C：的两个焦点为M（-2，0），N（2，0），点P（3，）在曲线C上，
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2，求直线l的方程。

答案

解：(Ⅰ)依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4），
将点（3，）代入上式，
得，解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求双曲线方程为。
(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程并整理，得(1-k²)x²-4kx-6=0，
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴，
∴k∈，
设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，则由①式得x₁+x₂=，
于是|EF|=
=，
而原点O到直线l的距离d=，
∴S_ΔOEF=，
若S_ΔOEF=2，即，
解得k=±，满足②，
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=。