题目

题型：重庆市高考真题难度：来源：

已知以原点D为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率，。
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x₁，y₁）的直线l₁：x₁x+4y₁y=4与过点N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直线l₂：x₂x+4y₂y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近 线分别交于G、H两点，求△OGH的面积。

答案

解：（1）设C的标准方程为
则由题意
因此
C的标准方程为
C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0；（2）如图，由题意点E（x_E，y_E）在直线l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，因此有x₁x_E+4y₁y_E=4，x₂x_E+4y₂y_E=4
故点M、N均在直线x_Ex+4y_Ey=4上，因此直线MN的方程为x_Ex+4y_Ey=4
设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，由方程组
及解得：
设MN与x轴的交点为Q，则在直线x_Ex+4y_Ey=4中，令y=0 得
（易知x_E≠0），注意到x_E²-4y_E²=4，得
。