题目

题型：北京高考真题难度：来源：

已知双曲线C：的离心率为，右准线方程为x=，
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)设直线l是圆O：x²+y²=2上动点P(x₀，y₀)(x₀y₀≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A、B，证明∠AOB的大小为定值。

答案

(Ⅰ)解：由题意得，解得a=1，，
所以b²=c²-a²=2，
所以双曲线C的方程为。
(Ⅱ)证明：点P(x₀，y₀) (x₀y₀≠0)在圆x²+y²=2上，
圆在点P(x₀，y₀)处的切线l的方程为，
化简得x₀x+y₀y=2，
由及得，
因为切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
所以，且，
设A、B两点的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，
则，
因为，
且

,
所以∠AOB的大小为90°．