当前位置:高中试题 > 数学试题 > 椭圆的定义与方程 > 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个交点为F1(-3,0),而且过点H(3,12).(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1,...
题目
题型:佛山二模难度:来源:
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个交点为F1(-


3
,0)
,而且过点H(


3
1
2
)

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.魔方格
答案
(Ⅰ)解法一:由题意,∵椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个交点为F1(-


3
,0)

∴a2-b2=3,①
∵椭圆过点H(


3
1
2
)

3
a2
+
1
4b2
=1
,②
①②解得a2=4,b2=1,
所以椭圆E的方程为
x2
4
+y2=1
.…(4分)
解法二:椭圆的两个焦点分别为F1(-


3
,0),F2(


3
,0)

由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=
7
2
+
1
2
=4
,所以a=2,b2=1,
所以椭圆E的方程为
x2
4
+y2=1
.…(4分)
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0),
直线PA1y-1=
y0-1
x0
x
,令y=0,得xN=
-x0
y0-1

直线PA2y+1=
y0+1
x0
x
,令y=0,得xM=
x0
y0+1
; 
设圆G的圆心为(
1
2
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
),h)

则r2=[
1
2
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)-
x0
y0+1
]2+h2=
1
4
(
x0
y0+1
+
x0
y0-1
)2+h2

OG2=
1
4
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)2+h2
OT2=OG2-r2=
1
4
(
x0
y0+1
+
x0
y0-1
)2+h2-
1
4
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)2-h2=
x02
1-y02

x02
4
+y02=1
,所以
x20
=4(1-
y20
)
,所以OT2=
4(1-
y20
)
1-y02
=4

所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分)
解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0),
直线PA1y-1=
y0-1
x0
x
,令y=0,得xN=
-x0
y0-1

直线PA2y+1=
y0+1
x0
x
,令y=0,得xM=
x0
y0+1

|OM|•|ON|=|
-x0
y0-1
x0
y0+1
|=|
x02
y02-1
|
,而
x02
4
+y02=1
,所以
x20
=4(1-
y20
)

所以|OM|•|ON|=|
x02
y02-1
|=4
,由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分)
核心考点
试题【已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个交点为F1(-3,0),而且过点H(3,12).(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1,】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-


3
,0)
F2(


3
,0)
的距离之和为4,
(1)求曲线E的方程;
(2)设过(0,-2)的直线l与曲线E交于C、D两点,且


OC


OD
=0
(O为坐标原点),求直线l的方程.
题型:密云县一模难度:| 查看答案
已知△ABC,B(-3,0),C(3,0),△ABC的周长为14,则A点的轨迹方程(  )
A.
x2
16
+
y2
7
=1
B.
x2
25
+
y2
16
=1
C.
x2
16
+
y2
7
=1(x≠±4)
D.
x2
25
+
y2
16
=1(x≠±5)
题型:不详难度:| 查看答案
已知F1、F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的两焦点,经点F2的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|等于(  )
A.16B.11C.8D.3
题型:不详难度:| 查看答案
在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是(  )
A.
魔方格
B.
魔方格
C.
魔方格
D.
魔方格
题型:北京难度:| 查看答案
P为四棱锥S-ABCD的面SBC内一点,若动点P到平面abc的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是面SBC内(  )
A.线段或圆的一部分
B.双曲线或椭圆的一部分
C.双曲线或抛物线的一部分
D.抛物线或椭圆的一部分
题型:不详难度:| 查看答案
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