题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆的方程为 , 线段  是过左焦点  且不与  轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使  为正三角形, 求椭圆的离心率  的取值范围, 并用  表示直线  的斜率.

答案

 

解析

如图, 设线段  的中点为 ．过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、、, 则
． ……………  6分
假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 ，所以，．……… 12分.
于是，， 故．
若  (如图)，则. … 18分
当  时, 过点  作斜率为  的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, ． 故  为正三角形.   ………… 21分
若 ，则由对称性得．     ……………… 24分
又 , 所以，椭圆  的离心率  的取值范围是， 直线  的斜率为 ．