题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆两焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.   

（1）求P点坐标；                               
（2）求证直线AB的斜率为定值；   
（3）求△PAB面积的最大值。

答案

（1）P点坐标：.
（2）AB的斜率为定值
3）三角形PAB面积的最大值为。…

解析

1）由题可得，，设
则，，
∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.
（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，
则BP的直线方程为：.
由得 ，
设，则，
同理可得，则，.
所以：AB的斜率为定值.

（3）设AB的直线方程：.
由，得，
由，得
P到AB的距离为，
则 
。
当且仅当取等号
∴三角形PAB面积的最大值为。