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题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知椭圆的焦点和上顶点分别为,我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
(1)已知椭圆,判断是否相似,如果相似则求出的相似比,若不相似请说明理由;
(2)若与椭圆相似且半短轴长为的椭圆为,且直线与椭圆为相交于两点(异于端点),试问:当面积最大时,是否与有关?并证明你的结论.
(3)根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程,提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质(不需证明);
答案
见解析.
解析
第一问中利用根据已知的的定义进行判定特征三角形是否相似即可
第二问中,设直线方程,借助于联立方程组,和韦达定理可以表示斜率之积,然后可知为定植
第三问中,利用类比推理的思想可知两个相似椭圆之间的性质有:           
两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方;
分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比;
两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合;
过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比
解:(1)由题意可知,椭圆的焦点和上顶点分别为,我们称为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比,所以椭圆相似. ………2分
因为的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,
而椭圆的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形,
因此两个等腰三角形相似,且相似比为2:1                         ……… 4分
(2)椭圆的方程为:.
=与b无关                                 -----------6分
(3)椭圆的方程为:.        
两个相似椭圆之间的性质有:           
两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方;
分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似,相似比即为椭圆的相似比;
两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合;
过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ---------------6分
核心考点
试题【如图,已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、,我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知命题“椭圆的焦点在轴上”;
命题上单调递增,若“”为假,求的取值范围.
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已知,是椭圆左右焦点,它的离心率,且被直线所截得的线段的中点的横坐标为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是其椭圆上的任意一点,当为钝角时,求的取值范围。
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已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得,则该离心率e的取值范围是__________;
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(本小题满分16分)
如图,椭圆的右焦点为,右准线为

(1)求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
(2)过点作直线交椭圆于点,又直线于点,若
求线段的长;
(3)已知点的坐标为,直线交直线于点,且和椭圆的一个交点为点,是否存在实数,使得,若存在,求出实数;若不存在,请说明理由。
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如图,椭圆的离心率为,直线所围成的矩形ABCD的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.
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