题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分
已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆C的方程；
⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆
于另一点，求直线的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．

答案

⑴；
⑵或；
⑶见解析

解析

本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解
（1）根据椭圆的性质，离心率得到参数a,c的关系，然后利用线与圆相切得到参数b的值，进而得到椭圆的方程。
（2）设出直线与椭圆的方程联立方程组，结合韦达定理，和判别式大于零得到直线的斜率的范围。
（3）表示直线ME的方程，以及结合点的坐标的对称关系，得到k的关系式，进而得到直线与轴相交于定点
解:⑴由题意知，
所以，即，
又因为，所以，
故椭圆的方程为：．-----------4分
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为  ①
联立消去得：，
由得，
又不合题意，
所以直线的斜率的取值范围是或．---8分
⑶设点，则，
直线的方程为，
令，得，
将代入整理，得．     ②
由得①代入②整理，得，
所以直线与轴相交于定点．         ----------------14分