题目
题型:不详难度:来源:
已知圆方程为:.
(Ⅰ)直线过点,且与圆交于、两点,若,求直线的方程;
(Ⅱ)过圆上一动点作平行于轴的直线,设与轴的交点为,若向量,求动点的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
答案
(Ⅱ)点的轨迹方程是,轨迹是一个焦点在轴上的椭圆,除去短轴端点.
解析
然后再设直线斜率存在时的方程为,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再利用弦长公式,建立关于k的方程,求解即可.
(II)本小题属于相关点求轨迹方程.设点的坐标为(),点坐标为
则点坐标是,再根据,得到,
然后利用点M在圆上,可得到动点Q的轨迹方程,再通过方程判断轨迹是什么曲线.
解:(Ⅰ)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为,与圆的两个交点坐标和,其距离为. 满足题意 ……… 1分
②若直线不垂直于轴,设其方程为,即
设圆心到此直线的距离为,则,得 …………3分
∴,,
故所求直线方程为
综上所述,所求直线为或 …………7分
(Ⅱ)设点的坐标为(),点坐标为
则点坐标是 …………9分
∵,
∴ 即, …………11分
又∵,∴
∴点的轨迹方程是, …………13分
轨迹是一个焦点在轴上的椭圆,除去短轴端点. …………14分
核心考点
试题【(本小题满分14分) 已知圆方程为:.(Ⅰ)直线过点,且与圆交于、两点,若,求直线的方程;(Ⅱ)过圆上一动点作平行于轴的直线,设与轴的交点为,若向量,求动点的轨】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.
过对称轴的截口是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点上,片门位于另一个焦点上,由椭圆一个焦点发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知,,试建立适当的坐标系,求截口所在椭圆的方程.
A. | B. | C. | D. |
A. | B.3 | C. | D. |
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