题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点（2，1），平行于直线在轴上的截距为，设直线交椭圆于两个不同点、，

（1）求椭圆方程；
（2）求证：对任意的的允许值，的内心在定直线。

答案

（1）（2）直线为，由得
，设直线、的斜率分别为、， 所以，的角平分线垂直轴，因此，内心的横坐标等于点的横坐标，则对任意的，的内心在定直线

解析

试题分析：（1）设椭圆方程为
则   所以椭圆方程为           …… 5分
（2）如图，因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以，直线的方程为， 由，
设，则，…………8分
设直线、的斜率分别为、，则，
故=
=
     ……………12分
故=0， 所以，的角平分线垂直轴，因此，内心的横坐标等于点的横坐标，则对任意的，的内心在定直线 ……14
点评：直线与椭圆相交，利用韦达定理设而不求是常用的思路，本题要证内心在定直线上转化为两边关于该直线对称，进而与斜率联系起来