题目
题型:不详难度:来源:
(1)设直线AP、PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;
(2)求线段MN长的最小值;
(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
答案
(3)为直径的圆恒过定点(或点)
解析
试题分析:解:(1)由题设可知,点A(0,1),B(0,-1).
令P(x0,y0),则由题设可知x0≠0.
所以,直线AP的斜率k1=,PB的斜率为k2=. 2分
又点P在椭圆上,所以(x0≠0),从而有
k1·k2=.==-. 4分
(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线PB的方程为
y-(-1)=k2(x-0).
由,解得;
由,解得.
所以,直线AP与直线l的交点,直线PB与直线l的交点.
7分
于是,又k1·k2=-,所以
≥2=4,
等号成立的条件是,解得.
故线段MN长的最小值是4. 10分
(3)设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则=0,故有.
又,所以以MN为直径的圆的方程为
. 13分
令,解得或.
所以,以为直径的圆恒过定点(或点).16分
注:写出一点的坐标即可得分.
点评:研究直线与圆的位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,并结合向量的知识来处理,圆过定点的问题,利用数量积为零,属于基础题。
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆C上且异于点A、B,直线AP、PB与直线l:y=-2分别交于点M、N.(1)设直】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设点,若是椭圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程.
A. | B. | C. | D. |
A.线段 | B.直线 | C.椭圆 | D.圆 |
(Ⅰ)若椭圆过点(0,1),离心率e=;求椭圆C方程及其“知己圆”的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若过点(0,m)且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2,求m的值;
(Ⅲ)讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.
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