题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若椭圆过点(0,1),离心率e=;求椭圆C方程及其“知己圆”的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,若过点(0,m)且斜率为1的直线截其“知己圆”的弦长为2,求m的值;
(Ⅲ)讨论椭圆C及其“知己圆”的位置关系.
答案
(3)当r=c<b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点,圆在椭圆内; 12分
当r=c=b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点,交点是(0,1)和(0,-1);
当r=c>b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。
解析
试题分析:(Ⅰ)∵ 椭圆C过点(0,1),由椭圆性质可得:b=1;
又∵椭圆C的离心率e=,即,且 2分
∴ 解得
∴所求椭圆C的方程为: 4分
又∵
∴ 由题意可得椭圆C的“知己圆”的方程为: 6分
(Ⅱ)过点(0,m)且斜率为1的直线方程为y="x+m" 即:x-y+m=0
设圆心到直线的距离为d,则d= 8分
∴d= 解得:m= 10分
(Ⅲ)∵称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”,此时r=c
∴ 当r=c<b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆没有公共点,圆在椭圆内; 12分
当r=c=b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有两个公共点,交点是(0,1)和(0,-1);
当r=c>b时,该椭圆C的“知己圆”与椭圆有四个公共点。 14分
点评:主要是考查了椭圆的几何性质以及新定义的理解和运用,属于中档题。
核心考点
试题【已知椭圆C:(a>b>0),则称以原点为圆心,r=的圆为椭圆C的“知己圆”。(Ⅰ)若椭圆过点(0,1),离心率e=;求椭圆C方程及其“知己圆”的方程;(Ⅱ)在(】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若d=2,求k的值;
(2)若d≥,求椭圆离心率e的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
(1)求椭圆的方程;
(2)若坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值。
上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)是过三点的圆上的点,到直线的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围.
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