题目

题型：不详难度：来源：

给定椭圆： ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，且其短轴上的一个端点到的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．

答案

(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

解析

试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出，解出，，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，
所以椭圆方程为.                  2分
易知准圆半径为，
则准圆方程为.                     4分
(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，
当的方程为时，此时与准圆交于点，，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，
即为或，显然直线垂直；           6分
同理可证直线的方程为时，直线也垂直．      7分
②当的斜率都存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
由消去，得.
由化简整理得，.  因为，
所以有.                10分
设直线的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足方程，
所以，即垂直．                  12分
综合①②知，垂直．                       13分