题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆＝1上任一点P，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，设点M在PQ上，且＝2，点M的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(0，－2)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于x轴的直线上一动点，且满足＝＋ (O为原点)，且四边形OANB为矩形，求直线l的方程．

答案

（1）＋y²＝1（2）y＝±2x－2.

解析

(1)设点M(x，y)是曲线C上任意一点，
∵PM⊥x轴，且＝2，
所以点P的坐标为(x,3y)，
又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，
因此曲线C的方程是＋y²＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线l的方程为y＝kx－2，直线l与椭圆交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点．
由得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0，
依题意Δ＝(16k)²－48(1＋4k²)>0，得k²>(*)，
此时x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
因为＝＋，所以四边形OANB为平行四边形．
又四边形OANB是矩形，所以·＝0，
即x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋k²x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝(1＋k²)x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝0，
∴(1＋k²)·－2k·＋4＝0，
解之得k²＝4，∴k＝±2.满足(*)式．
设N(x₀，y₀)，由＝＋，得
y₀＝y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－4＝－4＝－，
从而点N在直线y＝－上，满足题设，
故直线l的方程为y＝±2x－2.