题目
题型:不详难度:来源:
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数,使,且P点到A、B 的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(3)过的直线与轨迹E交于P、Q两点,求面积的最大值.
答案
解析
试题分析:(1)求动点轨迹方程的步骤,一是设动点坐标M(x, y),二是列出动点满足的条件,三是化简,,四是去杂,x≠0;(2)涉及两个动点问题,往往是通过相关点法求对应轨迹方程,设P(x, y),则,代入M的轨迹方程有,利用椭圆定义解出相关点法也叫转移法,即将未知转移到已知,用未知点坐标表示已知点坐标,是一种化归思想,(3)直线与椭圆位置关系,一般先分析其几何性,再用代数进行刻画.本题中的三角形可分解为两个同底三角形,底长都为,所以三角形面积最大值决定于高,即横坐标差的绝对值,这可结合韦达定理进行列式分析
试题解析:解:(1)设点M的坐标为M(x, y)(x≠0),则
又由AC⊥BD有,即,
∴x2+y2=1(x≠0). (4分)
(2)设P(x, y),则,代入M的轨迹方程有
即,∴P的轨迹为椭圆(除去长轴的两个端点).
要P到A、B的距离之和为定值,则以A、B为焦点,故.
∴ 从而所求P的轨迹方程为. 9分
(3)易知l的斜率存在,设方程为联立9x2+y2=1,有
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
令,则且
,
所以当,即也即时,面积取最大值,最大值为. 12分
核心考点
试题【如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,M为CD的中点.(1)求点M的轨迹方程;(2)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数,使,且P点到A】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线交椭圆于、两点,若.求
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