题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B.

(1)若∠F₁AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

答案

（1）（2）＝1

解析

(1)若∠F₁AB＝90°，则△AOF₂为等腰直角三角形，所以有OA＝OF₂，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F₁(－c，0)，F₂(c，0)，
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＝1，得＝1，即＝1，解得a²＝3c².①
又由·＝(－c，－b)·，得b²－c²＝1，即有a²－2c²＝1.②
由①②解得c²＝1，a²＝3，从而有b²＝2.
所以椭圆方程为＝1.