题目

题型：不详难度：来源：

如图，椭圆经过点，其左、右顶点分别是、，左、右焦点分别是、，（异于、）是椭圆上的动点，连接交直线于、两点,若成等比数列.

（1）求此椭圆的离心率；
（2）求证:以线段为直径的圆过点.

答案

（1）（2）见解析

解析

试题分析：（1）由椭圆的几何意义知，，，由等比数列知，，即，两边同除以化为关于离心率的方程，求出离心率；（2）设出P点坐标，利用直线两点式方程写出直线PA，PB方程，通过解PA与及PB与方程分别组成的方程组，解出点M，N的坐标，再通过计算向量法=0，证明，证明为直径的圆过点.
试题解析：（1）由题意可知，成等比数列，所以
（2）由，椭圆经过点可知，椭圆方程为
设，由题意可知
解得，则
故以线段为直径的圆过点.