题目

题型：不详难度：来源：

巳知椭圆的离心率是.
⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程；
⑵若存在过点A(1,0)的直线，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.

答案

⑴；⑵椭圆的焦距的取值范围是.

解析

试题分析：⑴，，再将点的坐标代入椭圆的方程，这样便有三个方程，三者联立，即可求出，从而得椭圆的方程.⑵显然斜率不存在或斜率等于0时，不可能满足题意.故可设直线l的方程为：，这样可将点C(2, 0)关于直线l的对称点的坐标用表示出来，然后代入椭圆的方程，从而得一关于的方程：.设，因此原问题转化为关于t的方程有正根.根据二次方程根的分布可得.进而求得椭圆的焦距的取值范围.

试题解析：⑴,
∵点P(2,1)在椭圆上,∴     5分
⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：.
设点C(2, 0)关于直线l的对称点为，则

若点在椭圆上，则

设，因此原问题转化为关于t的方程有正根.
①当时，方程一定有正根；
②当时，则有
∴综上得.
又椭圆的焦距为.
故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]         13分