题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的斜率互为相反数,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
答案
解析
试题分析:(1)根据椭圆的离心率求得a和c的关系,进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)又点F2在线段PF1的中垂线上,推断|F1F2|=|PF2|,进而求得c,则a和b可得,进而求得椭圆的标准方程.(2)设直线MN方程为y=kx+m,与椭圆方程联立消去y,设M(x1,y1),N(x2,y2),根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2,表示出直线F2M和F2N的斜率,由直线F2M与F2N的斜率互为相反数,可推断两直线斜率之和为0,把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系,代入直线方程进而可求得直线过定点.
解:(1)由椭圆C的离心率得,其中,椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上
解得
(2)由题意,知直线MN存在斜率,设其方程为
由
消去设
则且
(8分)
由已知,得
化简,得
(10分)
整理得
直线MN的方程为,
因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0) (12分).
核心考点
试题【已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的斜】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在与椭圆交于两点的直线:,使得成立?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
(1) 求以、为焦点,且过、两点的椭圆的标准方程;
(2) 过点的直线交(1)中椭圆于两点,是否存在直线,使得以线段为直径的圆恰好过坐标原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
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