题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若椭圆C的右顶点为A,直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且满足AM⊥AN.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
答案
解析
(2)由方程组,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,整理得4k2-m2+1>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0),得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,
因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
所以(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,
即(1+k2)·+(km-2)·+m2+4=0,
整理得:5m2+16mk+12k2=0,
解得m=-2k或m=-,均满足4k2-m2+1>0.
当m=-2k时,直线的l方程为y=kx-2k,过定点(2,0),与题意矛盾,舍去;
当m=-时,直线l的方程为y=k(x-),过定点(,0),符合题意.
故直线l过定点,且定点的坐标为(,0).
核心考点
试题【椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,两焦点F1,F2之间的距离为2,椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1.(1)求椭圆C的标准方程;】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.至多为1 | B.2 | C.1 | D.0 |
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q,若的面积是 ,求此时椭圆的方程.
A. | B. |
C. | D. |
①已知A,B是椭圆的左右两个顶点, P是该椭圆上异于A,B的任一点,则.
②已知双曲线的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为-2.
③若抛物线:的焦点为,抛物线上一点和抛物线内一点,过点Q作抛物线的切线,直线过点且与垂直,则平分;
④已知函数是定义在R上的奇函数,, 则不等式的解集是.
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