题目

题型：期末题难度：来源：

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为，Q为椭圆C的左顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

答案

解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），且a²=b²+c²．
由题意，椭圆C过点（0，1），离心率为，
可知：b=1，=．
所以a²=4．所以，椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（﹣2，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=﹣．
由，解得
即A（﹣，），B（﹣，﹣）（不妨设点A在x轴上方）．
则直线AQ的斜率1，直线BQ的斜率﹣1．
因为直线AQ的斜率与直线BQ的斜率为﹣1，
所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=．
（ii）当直线l与x轴不垂直时，
由题意可设直线AB的方程为y=k（x+）（k≠0）．
由消去y得：
（25+100k²）x²+240k²x+144k²﹣100=0．
因为点A（﹣，0）在椭圆C的内部，
显然△＞0．         
因为 =（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂），y₁=k（x₁+），y₂=k（x₂+），
所以=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2+）（x₁+x₂）+4+
=（1+k²）×+（2+）（）+4+=0
所以 ．
所以△QAB为直角三角形．
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则|QA|=|QB|．
取AB的中点M，连接QM，则QM⊥AB．
记点（﹣，0）为N．
另一方面，点M的横坐标，
所以点M的纵坐标．
所以=（）（）=≠0
所以 与不垂直，矛盾．
所以当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．