题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，椭圆上一点M(

2 6

3

，

3

3

)满足

MF1

•

MF2

=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线L：y=kx+

2

与椭圆恒有不同交点A、B，且

OA

•

OB

＞1（O为坐标原点），求k的范围．

答案

（1）由题意得：
c=

3

，a=2，
∴b=1．
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+ 2

，
消去y解得(

1

4

+k2)x2+2

2

kx+1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

OA

•

OB

=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+

2

k(x1+x2)+2=

6-4k2

1+4k2

＞1，
∴k∈(

10

4

，-

1

2

)∪(

1

2

，

10

4

)．