题目

题型：模拟题难度：来源：

已知椭圆M：的面积为πab，且M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，
(1)试求椭圆M的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P（1，）为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论。

答案

解：(1)平面区域Ω：是一个矩形区域，如图(1)所示，
依题意及几何概型知识，可得，
故ab=2，因为0＜a≤2，0＜b≤，
所以a=2，b=，
所以椭圆M的方程为。 (2)如图(2)，设直线l的方程为，，
联立直线l的方程与椭圆方程得，
将①代入②得，
化简得，③
当△＞0，即，
也即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点，
由韦达定理得，
所以，
则

，
所以k₁+k₂为定值。