题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，椭圆与过点 A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求证：∠ATM=∠AF₁T。

答案

解：（1）过A、B的直线方程为
因为由题意得有唯一解
即有唯一解
所以（ab≠0）
故a²+4b²-4=0
又因为，即
所以a²=4b²
从而得a²=2，
故所求的椭圆方程为。
（2）由（1）得
所以
从而
由解得x₁=x₂=1
所以
因为tan∠AF₁T
又得

因此∠ATM=∠AF₁T。