题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁，A，上顶点为B，抛物线C₁，C₂分别以A，B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C₁与C₂相交于直线上一点P。
（1）求椭圆C及抛物线C₁，C₂的方程；
（2）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M，N，已知点，求的最小值。

答案

解：（1）由题意，A（a，0），，
故抛物线C₁的方程可设为y²=4ax，C₂的方程为
由，得a=4，
所以椭圆C：，
抛物线C₁：y²=16x，抛物线C₂：。
（2）由（1）知，直线OP的斜率为
所以直线l的斜率为
设直线l方程为
由消去y，整理得
因为动直线l与椭圆C交于不同两点，
所以Δ=128b²-20（8b²-16）>0，
解得
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则
 

因为
所以
 

因为，
所以当时，取得最小值，
其最小值等于。