题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x，
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′，F₂′，求以F₁′，F₂′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程。

答案

解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，
设所求双曲线的方程为，
由题意，得，解得a=2，b=1，
所求双曲线的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，），F₂（0，），
点F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为F₁′（，0），F₂′（，0），
又P（0，2），设椭圆方程为（m＞n＞0），
由椭圆定义，得2m=，m=3，
因为m²-n²=5，
所以n²=4，
所以椭圆的方程为。