题目

题型：上海难度：来源：

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-

2

）的椭圆的标准方程．
（2）已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

答案

（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∴a²=b²+4，即椭圆的方程为

x2

b2+4

+

y2

b2

=1．
∵点（-2，-

2

）在椭圆上，
∴

4

b2+4

+

2

b2

=1．
解得b²=4或b²=-2（舍）．
由此得a²=8，即椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．

（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，
与椭圆C的交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
y=kx+m，
则有

x2

a2

+

y2

b2

=1．
解得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
∵△＞0，∴m²＜b²+a²k²，
即-

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
则x₁+x₂=-

2a2km

b2+a2k2

，y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=

2b2m

b2+a2k2

，
∴AB中点M的坐标为（-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

）．
∴线段AB的中点M在过原点的直线b²x+a²ky=0上．
（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A₁、B₁和C₁、D₁，并分别取A₁B₁、C₁D₁的中点M₁、N₁，连接直线M₁N₁，那么直线MN和M₁N₁的交点O即为椭圆中心．