已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，22）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1）求证：|

|=|

|．

答案

（Ⅰ）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1（m＞0．n＞0）
由椭圆C过点过（0，1），（1，

）得：

n=1

m=1

，解得

n=1

∴椭圆C的方程为

+y2=1
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

3x-3y-1=0

+y2=1

消去y整理得27x²-12x-16=0，
由韦达定理得

x1+x2=

x1x2=-

由|

|=|

|两边平方整理可得

•

=0，故只需证明

•

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
而y1y2=(x1-

)(x2-

)=x1x2-

(x1+x2)+

y1+y2=x1-

+x2-

=x1+x2-

∴

•

=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=2x1x2-

(x1+x2)+

=0
故|

|=|

|恒成立

核心考点

试题【已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，22）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1）】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4的椭圆方程为______．

题型：不详难度：| 查看答案

在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：（x-1）²+y²=16与点A（-1，0），P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连接QM，QN，分别交直线x=t（t为常数，且t≠2）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．魔方格

题型：徐州模拟难度：| 查看答案

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

=1（a＞b＞0）的离心率为

，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使

=cosθ

+sinθ

．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

题型：不详难度：| 查看答案

设F₁、F₂分别为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线

=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

题型：南宁二模难度：| 查看答案

设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为

．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积．

题型：不详难度：| 查看答案

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