已知椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A1、A2分别是椭圆的上、下两个顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A1 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：成都模拟难度：来源：

已知椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A₁、A₂分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A₁点的抛物线为C，若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹方程．

答案

（Ⅰ）设椭圆方程为

=1，a＞b＞0，
由题意，得c=1，

=4，
∴a²=4，b²=4-1=3，
∴所求椭圆方程

=1；　　…（5分）
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x²=2py，p＞0．
由

=2，得p=4．
∴抛物线C的方程为x²=8y，
设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1

x2=8y

，得x²=8kx+8，
即x²-8kx-8=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．
∴x=

x1+x2

=4k，
代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，
由

x=4k

y=4k2+1

，消去k，得y=

+1，
即x²=4（y-1），
∴点Q的轨迹方程是x²=4（y-1）．

核心考点

试题【已知椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A1、A2分别是椭圆的上、下两个顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A1】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率e=

，椭圆C上的点到F的距离的最大值为

+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|AB|=

，求直线l的方程．

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已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，

|OP|

|OM|

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

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已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于

，则C的方程是（　　）

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设椭圆E：

1-a2

=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₂P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为

（I）求椭圆C的方程
（II）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为

的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设

，求实数t的值．