题目

题型：济南一模难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率e=

2

2

，椭圆C上的点到F的距离的最大值为

2

+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若|AB|=

3 2

2

，求直线l的方程．

答案

（1）由题意知，

c

a

=

2

2

，a+c=

2

+1，
所以a=

2

，c=1，从而b=1，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1
（2）容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=my+1，代入

x2

2

+y2=1中，
得（m²+2）y²+2my-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由根与系数的关系，得y1+y2=-

2m

m2+2

       y1y2=-

1

m2+2

，
     |AB|=

1+m2

|y2-y1|=

1+m2

(y2+y1)2-4y1y2

=

1+m2

4m2 (m2+2)2 + 4 m2+2

=

2 2 (m2+1)

m2+2

=

3 2

2

，
解得m=±

2

，
所以直线l的方程为x=±

2

y+1，即x-

2

y-1=0或x+

2

y-1=0．