题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数．
(1)求函数的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

答案

(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1)，[2,3)．
(2) a∈[－1，－]

解析

本试题主要是考查了函数的单调性以及函数与方程的综合运用。
（1）根据已知函数去掉绝对值符号，结合二次函数来分析单调性。
（2）作函数y=|x²-4x+3|的图象， 由图象知直线y=1与y=|x²-4x+3|的图象至少有三个不相等的实数根，即方程|x²-4x+3|=1也就是方程|x²-4x+3|-1=0至少有三个不相等的实数根，因此得到a的范围。．
f(x)＝
(1)递增区间为[1,2)，[3，＋∞)，
递减区间为(－∞，1)，[2,3)．
(2)原方程变形为|x²－4x＋3|＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象(如上图)
则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1；
当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x²＋4x－3相切时，
由得x²－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0. 得a＝－.
由图象知当a∈[－1，－]时，方程至少有三个不等实根．