已知点A、B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=22．三角形ABC的面积为2，动直线l：y=k - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：和平区二模难度：来源：

已知点A、B分别是椭圆

=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

．三角形ABC的面积为

，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足

=λ

（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=

时，求△MNO面积．

答案

（I）由题意，

a2+b2

×2a×b=

，∴a=

，b=1
∴椭圆的方程为

+y2=1；
（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设点M、N的坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x₀，y₀），则
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

1+2k2

（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．
（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，
∵

=λ

，∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
∴x₀=-

4km

λ(1+2k2)

，y₀=

λ(1+2k2)

∵P在椭圆上，
∴[-

4km

λ(1+2k2)

]2+2[

λ(1+2k2)

]2=2
化简，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
将①、②两式，∵m≠0，∴λ²＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；
（III）由题意，|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|，点O到直线MN的距离d=

|m|

1+k2

∴S_△MNO=

|m||x1-x2|=

|m|

1+2k2-m2

1+2k2

当λ=

时，由4m²=λ²（1+2k²）可得2m²=1+2k²，
∴S△MNO=

．

核心考点

试题【已知点A、B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=22．三角形ABC的面积为2，动直线l：y=k】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(-

，0)，B(

，0)，点C在x轴上方．
（1）若点C坐标为(

，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
（2）过点P（m，0）作倾角为

π的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

题型：蚌埠二模难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，且过点(2，

)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：

|MN|

|PQ|

为定值．

题型：东城区一模难度：| 查看答案

已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)两个焦点为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，直线F₁A上有一动点P，求|PF₂|+|PO|的最小值．

题型：不详难度：| 查看答案

椭圆C：

=1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F₁，F₂，在x轴的两端点分别为A，B，四边形F₁AF₂B是边长为4的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）过点P（0，3）作直线l交椭圆与M，N两点，且

，求直线l的方程．

题型：不详难度：| 查看答案

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