已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)两个焦点为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)两个焦点为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，直线F₁A上有一动点P，求|PF₂|+|PO|的最小值．

答案

（1）由题设得

a=2c

a+a+2c=6

a2=b2+c2

，
解得：a=2，b=

c=1，
故C的方程为

=1，离心率e=

．
（2）直线F₁A的方程为y=

(x+1)，
设点0关于直线F₁A对称的点为M（x₀，y₀），则

•

=-1

(

+1)

⇒

x0=-

y0=

，
所以点M的坐标为(-

，

)，
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|≥|MF₂|，
|PF₂|+|PO|的最小值为|MF2|=

-1)2+(

-0)2

．

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)两个焦点为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（】；主要考察你对椭圆等知识点的理解。[详细]

举一反三

椭圆C：

=1（a＞b＞0）的上下焦点分别为F₁，F₂，在x轴的两端点分别为A，B，四边形F₁AF₂B是边长为4的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）过点P（0，3）作直线l交椭圆与M，N两点，且

，求直线l的方程．

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设F₁，F₂分别为椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，

)到F1，F2两点的距离之和等于4．
（1）求出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过点P（0，

）的直线与椭圆交于两点M、N，若OM⊥ON，求直线MN的方程．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率

，直线l：x-y+

=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点N（-

，-l）．

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在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁为

x=acosφ

y=sinφ

（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C₁的交点为A，与C₂除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设C₁与y轴正半轴交点为D，当a=

时，设直线BD与曲线C₁的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

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设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（1）证明：a2＞

3k2

3+k2

；
（2）若

，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

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