题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过P(-

1

2

，

1

2

)且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．

答案

设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．                          
（Ⅰ）由已知可得

b=c 2b=2 a2=b2+c2

⇒

a2=2 b2=1 c2=1

．                     
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．                           
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+

1

2

)+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x 21

2

+

y

21

=1，

x 22

2

+

y

22

=1，两式相减得：

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

．
∵P是AB的中点，∴

x1+x2

2

=-

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

，
代入上式可得直线AB的斜率为k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直线l的方程为2x-4y+3=0．
当直线l的斜率不存在时，将x=-

1

2

代入椭圆方程并解得A(-

1

2

，

14

4

)，B(-

1

2

，-

14

4

)，
这时AB的中点为(-

1

2

，0)，∴x=-

1

2

不符合题设要求．
综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．