题目

题型：不详难度：来源：

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e=

2

2

，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（0，-2）的直线l（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF面积之比为λ，求λ的取值范围．

答案

（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则b=1
∵椭圆的离心率为e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∵a²=b²+c²，∴a²=2，c=1
∴椭圆方程为

x2

2

+y²=1；
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，设l方程为y=mx-2（m≠0）①，代入

x2

2

+y²=1，
整理得（2m²+1）x²-8mx+6=0，由△＞0得m²＞

3

2

．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8m

2m2+1

，x₁x₂=

6

2m2+1

②
∵△OBE与△OBF面积之比为λ
∴

|BE|

|BF|

=λ，∴

BE

=λ

BF

∴x₂=λx₁．
代入②得，消去x₁得

(1+λ)2

λ

=

32

3

×

1

2+ 1 m2

，
∵m²＞

3

2

．
∴0＜

1

m2

＜

2

3

∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

∴

1

3

＜λ＜3且λ≠1