题目

题型：不详难度：来源：

以O为原点，

OF

所在直线为x轴，建立直角坐标系．设

OF

•

FG

=1，点F的坐标为（t，0），t∈[3，+∞）．点G的坐标为（x₀，y₀）．
（1）求x₀关于t的函数x₀=f（t）的表达式，并判断函数f（x）的单调性．
（2）设△OFG的面积S=

31

6

t，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当|

OG

|取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0，

9

2

)，C，D是椭圆上的两点，

PC

=λ

PD

(λ≠1)，求实数λ的取值范围．

答案

（1）由题意得：

OF

=（t，0），

OG

=（x₀，y₀），

FG

═（x₀-t，y₀），
则：

OF

•

FG

=t(x0-t)=1，解得：x0=f(t)=t+

1

t

所以f（t）在t∈[3，+∞）上单调递增．
（2）由S=

1

2

|

OF

|•|y₀|=

1

2

|y₀|•t=

31

6

t得y₀=±

31

3

，
点G的坐标为（t+

1

t

，±

31

3

），|

OG

|2=(t+

1

t

)2+

31

9

当t=3时，|

OG

|取得最小值，此时点F，G的坐标为（3，0）、（

10

3

，±

31

3

）
由题意设椭圆的方程为

100

9(b2+9)

+

31

9b2

=1，又点G在椭圆上，
解得b²=9或b²=-

31

9

（舍）故所求的椭圆方程为

x2

18

+

y2

9

=1
（3）设C，D的坐标分别为（x，y）、（m，n）
则

PC

=（x，y-

9

2

），

PD

=（m，n-

9

2

）由

PC

=λ

PD

得（x，y-

9

2

）=λ=（m，n-

9

2

），
∴x=λm，y=λn-

9

2

λ+

9

2

又点C，D在椭圆上

x2 18 + y2 9 =1  λ2m2 18 + (λn- 9 2 λ+ 9 2 )2 9 =1

消去m得n=

13λ-5

4λ

   
|n|≤3，∴|

13λ-5

4λ

|≤3解得

1

5

≤λ≤5
又∵λ≠1
∴实数λ的范围是[

1

5

，1）∪（1，5]