题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，过原点O斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k₁，直线PN的斜率为k₂，试探究k₁•k₂是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

答案

（I）设椭圆的焦距为2c（c＞0），F（c，0），直线l：x-y=0，F到l的距离为

|c|

2

=

2

，解得c=2．又∵e=

c

a

=

2

2

，∴a=2

2

，∴b=2．
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（6分）
（Ⅱ）由

x2 8 + y2 4 =1 y=x

解得x=y=

2 6

3

，或x=y=-

2 6

3

，
不妨设M(

2 6

3

，

2 6

3

)， N(-

2 6

3

，-

2 6

3

)，P（x，y），
∴kPM•kPN=

y- 2 6 3

x- 2 6 3

•

y+ 2 6 3

x+ 2 6 3

=

y2- 8 3

x2- 8 3

，
由

x2

8

+

y2

4

=1，即x²=8-2y²，代入化简得k1•k2=kPM•kPN=-

1

2

为定值．（12分）