题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为

3

2

，短轴的长为2．
（1）求椭圆M的标准方程
（2）若经过点（0，2）的直线l与椭圆M交于P，Q两点，满足

OP

•

OQ

=0，求l的方程．

答案

（1）由e=

c

a

=

3

2

，b=1，a2=b2+c2得a=2（2分）
所以椭圆方程为

x2

4

+y2=1（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）设直线l：y=kx+2（5分）
由

x2 4 +y2=1 y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0△=64k²-48＞0①（7分）
x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

②∵

OP

•

OQ

=0
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0③（10分）
由②③解得k=±2满足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）