题目

题型：不详难度：来源：

在直角坐标系xoy中，点P到两点(-

3

，0)，(

3

，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+2与C交于不同的两点A，B．
（1）写出C的方程；
（2）求证：-1＜

OA

•

OB

＜

13

4

．

答案

（1）由题意可得，点P是以P(-

3

，0)，(

3

，0)为焦点的椭圆，且2a=4
∴a=2，c=

3

，b²=a²-c²=1
曲线C的方程为

x2

4

+y2=1
（2）联立方程

y=kx+2 x2 4 +y2=1

可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
由△=4k²-3＞0可得k2＞

3

4

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂） x1+x2=-

16k

1+4k2

x1x2=

12

1+4k2

∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=(1+k2)•

12

1+4k2

+2k•

-16k

1+4k2

+4=

16-4k2

1+4k2

令y=

16-4k2

1+4k2

则可得k2=

16-y

4(y+1)

＞

3

4

∴-1＜y＜

13

4

即-1＜

OA

•

OB

＜

13

4