已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2+（y-3）2=1的一条直径，若与AF平行且在y - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C1：

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C₁上任一点，MN是圆C_2：x²+（y-3）²=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-

的直线l恰好与圆C₂相切．
（Ⅰ）已知椭圆C₁的离心率；
（Ⅱ）若

•

的最大值为49，求椭圆C₁的方程．

答案

（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-

)c=0，
因为直线与圆c₂：x²+（y-3）²=1相切，所以d=

|3c-3c+

b2+c2

=1，即a²=2c²，
从而e=

；（6分）
（Ⅱ）设P（x，y）、圆C₂的圆心记为C₂，则

2c2

=1（c＞0），又

•

PC2

C2M)

•(

PC2

C2N

PC2

C2N

2=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+2c²+17（-c≤y≤c）．（8分）
j当c≥3时，(

•

)MAX=17+2c2=49，解得c=4，此时椭圆方程为

=1；
k当0＜c＜3时，(

•

)MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49，
解得c=5

-3但c=5

-3＞3，故舍去．
综上所述，椭圆的方程为

=1．（14分）

核心考点

试题【已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2+（y-3）2=1的一条直径，若与AF平行且在y】；主要考察你对直线与圆的位置关系等知识点的理解。[详细]

举一反三

（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）
已知曲线C的参数方程为

x=sinα

y=cos2α

，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+

)=-

．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

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直线2ax+by-2ab+6=0（a＞0，b＞0）平分圆（x-1）²+（y-2）²=4的面积，则ab的最小值等于______．

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如果直线y=a和圆x²+y²-2y=0相切，那么a等于______．

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已知直线l：x=4与x轴相交于点M，动点P满足PM⊥PO（O是坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试在直线l上确定一点D（异于M点），过点D作曲线C的切线，使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点．

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在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

x=2cosθ

y=2sinθ

（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

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