题目

题型：不详难度：来源：

圆x²+y²=1内有一定点A（

1

2

，0），圆上有两点P、Q，若∠PAQ=90°，求过点P和Q的两条切线的交点M的轨迹方程．

答案

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则过P、Q的切线方程分别是
x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1．
又M（m，n）在这两条切线上，有mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1，
∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，
∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1．
又∵E为直线OM与PQ之交点，解方程组

mx+nx=1 y= n m x

⇒x=

m

m2+n2

，y=

n

m2+n2

．
将（

m

m2+n2

，

n

m2+n2

）代入中点E的轨迹方程得x²+y²+

4

3

x-

8

3

=0．
这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程．