题目

题型：不详难度：来源：

已知圆O的方程为x²+y²=1和点A（a，0），设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆OO上异于P、Q的任意一点，过点A（a，0）且与x轴垂直的直线为l，直线PM交直线l于点E，直线QM交直线l于点F．
（1）若a=3，直线l₁过点A（3，0），且与圆O相切，求直线l₁的方程；
（2）证明：若a=3，则以EF为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标；
（3）若以EF为直径的圆C过定点，探求a的取值范围．

答案

（1）∵直线l₁过点A（3，0），且与圆C：x²+y²=1相切，
设直线l₁的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
则圆心O（0，0）到直线l₁的距离为d=

|3k|

k2+1

=1，解得k=±

2

4

，
∴直线l₁的方程为y=±

2

4

（x-3），即y=±

2

4

（x-3）．
（2）对于圆方程x²+y²=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l₂过点a且与x轴垂直，∴直线l₂方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为y=

t

s+1

（x+1）．
解方程组

x=3 y= t s+1 (x+1)

，得P′(3，

4t

s+1

)同理可得，Q′(3，

2t

s-1

)
∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-

4t

s+1

）（y-

2t

s-1

）=0，
又s²+t²=1，∴整理得(x2+y2-6x+1)+

6s-2

t

y=0，
若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x²-6x+1=0，解得x=3±2

2

，
∴圆C′总经过定点坐标为（3±2

2

，0）．
（3）以EF为直径的圆C过定点，它的逆命题：设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，
过点M（m，0）且与x轴垂直的直线为l₂，直线PM交直线l₂于点P′，
直线QM交直线l₂于点Q′，以P′Q′为直径的圆C总过定点，则m＞1或者m＜-1．