题目

题型：0119 期中题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x²+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，求：
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。

答案

解：（Ⅰ）令x=0，得抛物线与y轴的交点是（0，b），
令，
由题意b≠0且△>0，
解得：b<1且b≠0。
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为，
令y=0，得与x²+2x+b=0是同一个方程，
故D=2，F=b；
令x=0，得，此时方程有一个根为b，
代入，得出E=-b-1，
所以，圆C的方程为。
（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（-2，1）。
证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边=0²+1²+2×0-（b+1）+b=0，右边=0，
所以圆C必过定点（0，1），
同理可证圆C必过定点（-2，1）。